          Алгебра Формули для квадратів | |
| (a +b)2 =a2 + 2ab+b2 | – квадрат суми |
| (a–b)2 =a2 – 2ab+b2 | – квадрат різниці |
a2 –b2 = (a–b)(a+b)
| – різниця квадратів |
| (a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc |
| Формули для кубів | |
| (a+b)3 =a3 + 3a2b+ 3ab2 +b3 | – куб суми |
| (a–b)3 =a3 – 3a2b+ 3ab2 –b3 | – куб різниці |
a3 +b3 = (a+b)(a2 –ab+b2)
| – сума кубів |
a3 –b3 = (a –b)(a2 +ab +b2)
| – різниця кубів |
Формули та властивості степенів.
Число
c
називається
n
-тим степенем числа
a
, якщо воно множиться на само себе
n
-ту кількість разів
c
=
a
·
a
· ... ·
a
n
Формули та властивості степенів використовуються підчас операцій скорочення та спрощення складних виразів при розв'язанні рівнянь та нерівностей.
1.
a
0 = 1 (
a
≠ 0)
2.
a
1 =
a
3.
an
·
am
=
a
n
+
m
4. (
an
)
m
=
anm
5.
an
bn
= (
ab
)
n
6.
a-n
= 1
an
7.
an
=
an - m
am
8.
a
1/
n
=
n
√
a
c
називається
n
-тим степенем числа
a
, якщо воно множиться на само себе
n
-ту кількість разів
c
= |
a
·
a
· ... ·
a
|
| |
n
|
1.
a
0 = 1 (
a
≠ 0)
2.
a
1 =
a
3.
an
·
am
=
a
n
+
m
4. (
an
)
m
=
anm
5.
an
bn
= (
ab
)
n
| 6.
a-n
= | 1 |
an
|
| 7. |
an
| =
an - m
|
am
|
8.
a
1/
n
=
n
√
a
Формули і властивості арифметичної прогресії
Означення. Арифметичною прогресією називається числова послідовність, в якій кожен наступний член, починаючи з другого, дорівнюєсумі попереднього члена та сталого для даної послідовності числа. Це число називається різницею прогресії, і позначається d.
Пишуть. a1, a2, a3, …, an, ….
n-ний член арифметичної прогресії обчислюється за формулою:an=a1+d(n-1).
Нариклад у арифметичній прогресії
1, 3, 5, 7, 9,... a1=1, d=2.
1, 3, 5, 7, 9,... a1=1, d=2.
Сума n перших членів арифметичної прогресії: 
, або 
.
, або .Формули і властивості геометричної прогресії.
Означення. Геометричною прогресією називається числова послідовність, в якій кожен наступний член, починаючи з другого, дорівнюєдобутку попереднього члена та сталого для даної послідовності числа. Це число називається знаменником прогресії, і позначається q.
Пишуть. b1, b2, b3, …, bn, ….
n-ний член геометричної прогресії обчислюється за формулою:bn=b1qn-1.
Нариклад у геометричній прогресії
2, 6, 18, 54, 162,... b1=2, q=3.
2, 6, 18, 54, 162,... b1=2, q=3.
Сума n перших членів геометричної прогресії: 
.
.
Означення. Нескінченно спадна геометрична прогресія, це геометрична прогресія, у якої
| q |<1.
Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії: 
.
.Ознака подільності на 2
Число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто є парною.
Нариклад:2, 8, 16, 24, 66, 150 — діляться на 2, так як остання цифра цих чисел парна;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не діляться на 2, так яка остання цифра цих чисел непарна.
Ознака подільності на 3
Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.
Нариклад:471 — ділиться на 3, так як 4+7+1=12, я число 12 ділиться на 3;
532 — не ділиться на 3, так як 5+3+2=10, а число 10 не ділиться на 3.
Ознака подільності на 4
Число ділиться на 4 тоді и тільки тоді, коли дві його останні цифри складають число, яке ділиться на 4.Двозначне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли подвоєне число десятків, складене з числом одиниць ділиться на 4.
Нариклад:4576 — ділиться на 4, так як число 76 (7·2+6=20) ділиться на 4;
9634 — не ділиться на 4, так як число 34 (3·2+4=10) не ділиться на 4.
Ознака подільності на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює 0 або 5.
Нариклад:375, 5680, 233575 — діляться на 5, так як їх останні цифри дорівнюють 0 або 5;
9634, 452, 389753 — не діляться на 5, так як їх останні цифри не дорівнюють 0 або 5.
Ознака подільності на 6
Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3, тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3.
Нариклад:462, 3456, 24642 — діляться на 6, так як вони діляться одночасно і на 2, і на 3;
861, 3458, 34681 — не діляться на 6, так як 861 не ділиться на 2, 3458 не ділиться на 3, 34681 не ділиться на 2.
Ознака подільності на 9
Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.
Нариклад:468, 4788, 69759 — діляться на 9, так як сума їх цифр ділиться на 9 (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не діляться на 9, так як сума їх цифр не ділиться на 9 (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).
Ознака подільності на 10
Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на нуль.
Нариклад:460, 24000, 1245464570 — діляться на 10, так як остання цифра цих чисел дорівнює нулю;
234, 25048, 1230000003 — не діляться на 10, так як остання цифра цих чисел не дорівнює нулю.
| 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 | 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400 | 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900 | 312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521 402 = 1600 | 412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401 502 = 2500 |
| 512 = 2601 522 = 2704 532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025 562 = 3136 572 = 3249 582 = 3364 592 = 3481 602 = 3600 | 612 = 3721 622 = 3844 632 = 3969 642 = 4096 652 = 4225 662 = 4356 672 = 4489 682 = 4624 692 = 4761 702 = 4900 | 712 = 5041 722 = 5184 732 = 5329 742 = 5476 752 = 5625 762 = 5776 772 = 5929 782 = 6084 792 = 6241 802 = 6400 | 812 = 6561 822 = 6724 832 = 6889 842 = 7056 852 = 7225 862 = 7396 872 = 7569 882 = 7744 892 = 7921 902 = 8100 | 912 = 8281 922 = 8464 932 = 8649 942 = 8836 952 = 9025 962 = 9216 972 = 9409 982 = 9604 992 = 9801 1002 = 10000 |
Основні властивості коренів.
Коренем
Для
n
-того степеня із числа
a
називається таке число
b
,
n
-та степінь якого рівна
a
Для
a
> 0 і
b
> 0 і натуральних чисел
n
,
m
,
k
виконуються наступні співвідношення:- n√a b=n√a·n√b
|
a|якщо
n– парнеaякщо
n– непарне- для довільних aіb, таких що 0 ≤a≤bсправедлива нерівність:n√a≤n√b
Комментариев нет:
Отправить комментарий